2.2. 用伪谱方法 布勒斯基（ Boussinesq ）方程

2.2.1. 布勒斯基（ Boussinesq ）方程

原始变量形式： \(\overrightarrow{u}=(u,v)\)

\[\begin{split}&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\overrightarrow{u}\cdot \nabla \rho = 0\\ &\frac{\partial u}{\partial t}+\overrightarrow{u}\cdot \nabla \overrightarrow{u} +\nabla p = \left( \begin{array}{c}0\\p\\ \end{array}\right)\\ &\nabla \cdot \overrightarrow{u} = 0\end{split}\]

流函数-涡量形式：

\[\begin{split}&\frac{\partial\rho}{\partial t}+u\cdot \nabla \rho = 0\\ &\frac{\partial w}{\partial t}+\overrightarrow{u}\cdot \nabla w = \frac{-\partial{\rho}}{\partial y} \\ &-\Delta \Phi =w\\ &w=\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x},u=-\Phi_y,v=\Phi_x\end{split}\]

我将对流函数-涡量形式求解。对这个方程组在空间上离散后做傅立叶变换得：

\[\begin{split}\frac{\partial \hat{\rho}_{jk}}{\partial t} &= \hat{u}_{jk} \otimes i j \hat{\rho}_{jk} + \hat{v}_{jk} \otimes i k \hat{\rho}_{jk}\\ \frac{\partial \hat{w}_{jk}}{\partial t} &= \hat{u}_{jk} \otimes i j \hat{w}_{jk} + \hat{v}_{jk} \otimes i k \hat{w}_{jk} + i j \hat{\rho}_{jk}\\ \hat{\Phi}_{jk}& = - \frac{\hat{w}_{jk}}{ (-ij)^2 + (-ik)^2 }\\ \hat{u}_{jk} &= i k \hat{\Phi}_{jk}\\ \hat{v}_{jk} &= -i j \hat{\Phi}_{jk}\\\end{split}\]

来回用傅立叶变换逆变换和傅立叶变换计算卷积，用2/3法则去除折叠（alias）混淆误差。 用4阶Runge-Kutta方法取固定时间步长（ \(0.8 \frac{1}{N}\) ）迭代求解下一步 \(\hat{\rho},\ \hat{w}\) 。重复上述步骤。

空间网格为 512 的程序的计算结果：

2.2.2. 手工并行化二维FFTW

期末复习紧张，刚写了框架没来得及调试，期末之后找时间再弄一下。