13.4. 算法

13.4.1. 生成满足正态分布的N维度随机变量

13.4.1.1. 算法

设 \(N\) 维随机变量 \(Z\) 的每个分量是满足 \(\mu=0\) , \(\sigma=1\) 的独立正态分布随机变量. 则可以由 \(x=LZ+R\) , \(L=chol(\Sigma),\Sigma =LL^T\) 生成均值为 \(R\), 协方差矩阵为 \(\Sigma\) 的N维随机变量. 具体证明可以查看 ‘Numerical Recipes Chapter 7.4’. 这里chol为 Cholesky分解 .

PS: 这里需要注意的一个问题是生成的随机数列 \(Z\) 必须是独立的, 这是程序实现过程中很容易犯的一个错误.

13.4.1.2. C++程序实现

我利用C++11 的新特性 生成正态分布随机数列 . 为了使得所生成的 \(Z\) 相互独立, 我用 \(t F(n)\) 来做随机数生成器的种子. 这里 \(t\) 是一个和时间相关的整数, 而 \(F(n)\) 是 斐波那契数列(Fibonacci Number) . 显然, 为了每个种子不一样, \(F(n)\) 必须从 \(1,2,3,5..\) 开始, 而不是从 \(0\) 开始.

13.4.2. 各种统计量的计算方法

Monte Carlo模拟完成之后, 我们需要计算如下统计量:

  1. 每个基金的 平均 第一次下折日;

  2. 第一向上折算日 频数分布 ;

  3. 第一向下折算日频数分布;

  4. 折算日 截尾均值 ;

  5. 折算日25% 分位数 , 50%分位数, 75%分位数, 与90%分位数;

  6. A基金优先份额久期分析;

  7. 计算隐含收益率;

其中前五项 a b c d e 都是常见统计量无需在这里赘述.

13.4.2.1. 基金优先份额 久期 分析

我们可以通过模拟永续分级基金优先份额现金流实现的金额与日期, 结合 Macaulay Duration , 与修正久期( Modified Duration )的定义, 得出其修正久期.

13.4.2.1.1. 麦考利久期

\[V=\sum_{i=1}^{n}PV_i\]
\[MacD = \frac{\sum_{i=1}^{n}t_i\cdot PV_i }{V} = \sum_{i=1}^n t_i \frac{PV_i}{V}\]

这里:

  • \(i\) 索引现金流,

  • \(PV_i\) 表示现金流现值( present value ),

  • \(t_i\) 表示现在起到付款日的时间,

  • \(V\) 是将来所有现金流的现值.

在第二个表达式中的分数部分 \(\frac{PV_i}{V}\) 全部相加等于 \(1.0\), 作为这个加权平均中的权重. 于是这整个表达式就是现金流的一个时间加权平均.

在实际计算中, 我们使用下面这个表达式:

\[V = \sum_{i=1}^{n}PV_i = \sum_{i=1}^{n} CF_i\cdot e^{-yt_i}\]
\[MacD = \sum_{i=1}^{n}t_i \frac{CF_i\cdot e^{-yt_i} }{V}\]

这里:

  • \(i\) 索引现金流,

  • \(PV_i\) 表示第 \(i\) 次付款的现值,

  • \(CF_i\) 表示第 \(i\) 次现金流,

  • \(y\) 表示到期收益率(连续复利),

  • \(t_i\) 表示第 \(i\) 次付款从现在起到付款日的时间, 以年为单位,

  • \(V\) 是将来直到最后到期的所有现金流的总现值.

13.4.2.1.2. 修正久期

修正久期( Modified Duration ) 是价格敏感性的一个度量, 定义为价格对收益的百分比导数. 修正久期只有在将债券看做是收益的函数的时候才有效. 我们也可以将其定义为债券的对数导数.

\[ModD= -\frac{1}{V}\cdot \frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial \ln{V}}{\partial y}\]

于是经过简单计算可以得到在连续复利的情况下 \(MacD=ModD\).

13.4.2.1.3. 周期复利

在金融市场中, 收益往往表现为周期复利(年利率或者半年率), 而不是简单的连续复利. 分级基金A份也通常是以周期复利计算.

\[V(y_k) = \sum_{i=1}^{n}PV_i = \sum_{i=1}^{n}\frac{CF_i}{(1+y_k/k)^{k\cdot t_i}}\]
\[MacD = \sum_{i=1}^{n} \frac {t_i} {V(y_k)} \cdot \frac{CF_i} {(1+y_k/k)^{k \cdot t_i}}\]

为了计算修正久期, 我们将 \(V\) 对 \(y_k\) 进行求导.

\[\frac{\partial V}{\partial y_k} = - \frac{1}{(1+y_k/k)} \cdot \sum_{i=1}^{n} t_i \cdot \frac {CF_i} {(1+y_k/k)^{k \cdot t_i}} = - \frac{MacD \cdot V(y_k)} { (1+y_k/k)}\]

整理(两边同时除以 \(-V\) )得:

\[\frac{MacD } { (1+y_k/k)} = - \frac{1} {V(y_k)} \cdot \frac{\partial V}{\partial y_k} \equiv ModD\]

于是我们得到了, 麦考利久期和修正久期之间的关系:

\[ModD = \frac{MacD}{(1+y_k/k)}\]

这里:

  • \(i\) 索引现金流,

  • \(k\) 复合利率频率, (1表示年利率, 2表示半年率, 12表示月利率, 52表示周利率, etc.),

  • \(CF_i\) 表示第 \(i\) 次现金流付款,

  • \(t_i\) 是以年作单位到收到第 \(i\) 次付款的时间,

  • \(y_k\) 为到期利率,

  • \(V\) 表示所有现金流的现值.

13.4.2.2. 计算隐含收益率&逆推理论价格

已知交易价格 \(P\) 与现金流 \(CF_i\), 我们可以通过公式

\[P = \sum_{i=1}^{n}\frac{CF_i}{(1+r)^{t_i}}\]

来计算隐含收益率 \(r\).

而如果用已知收益率去回推理论价格 \(P_t\). 我们同样有公式

\[P_t = \sum_{i=1}^{n}\frac{CF_i}{(1+y_k/k)^{k\cdot t_i}}\]

这里我们通过Monte Carlo模拟出现金流 \(CF_i\) 与固定投资利率 \(y_k\) 就可以用上面的公式计算出理论价格了.